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5次交代群

5次交代群はポアンカレの反例をはじめ、例外として現れるケースが多い。世代継承で5次交代群の例をあげる。

    型     男    女    子
    M1    A    E    B
    M2    C    B    A
    M3    D    A    D
    M4    B    D    C
    M5    E    C    E

各型で生まれた子が親になった時の型を写像として定義する。性別は2種類なので、男子への型継承を f、女子への型継承を g とすると次のようになる。

    f(M1)=M4, g(M1)=M2
    f(M2)=M1, g(M2)=M3
    f(M3)=M3, g(M3)=M4
    f(M4)=M2, g(M4)=M5
    f(M5)=M5, g(M5)=M1

    f(g(M1))=M1
    f(g(M2))=M3
    f(g(M3))=M2
    f(g(M4))=M5
    f(g(M5))=M4

    f(g(f(g(M1))))=M1
    f(g(f(g(M2))))=M2
    f(g(f(g(M3))))=M3
    f(g(f(g(M4))))=M4
    f(g(f(g(M5))))=M5

実際、これで f^3 = g^5 = (fg)^2 = 1 となる。